B5) Polymétrie et structures temporelles

Le super-pouvoir de BP3

Et si une grammaire musicale pouvait faire coexister des flux temporels différents — comme un tabliste qui joue en 4 avec la main droite et en 3 avec la gauche ?

Où se situe cet article ?

Cet article approfondit la dimension temporelle de BP3 (Bol Processor 3, le logiciel de composition algorithmique — voir I2). M5 a présenté le concept musical de polymétrie ; B2 a défini le vocabulaire ; B3 a formalisé les règles de dérivation. Ici, nous voyons comment BP3 représente le temps musical — compression, superposition, cycles — avec une syntaxe simple mais puissante. Les détails de la traduction en code SuperCollider sont traités dans B7.

Pourquoi c’est important ?

La plupart des langages musicaux traitent le temps de manière rigide : une note a une durée, un silence a une durée, et tout s’additionne séquentiellement. C’est comme une file d’attente : chacun passe son tour, un par un. MIDI, MusicXML, la notation sur portée — tous fonctionnent ainsi.

Mais la musique réelle ne fonctionne pas comme une file d’attente. Un tabliste peut comprimer 7 bols dans l’espace de 4 temps. Un ensemble de gamelan superpose des couches qui avancent à des vitesses différentes. Un tāla indien n’est pas une suite de mesures mais un cycle qui tourne.

BP3 formalise ces trois opérations :

Compresser ou dilater un groupe de notes dans un temps donné
Superposer des voix indépendantes qui avancent chacune à leur rythme
Annoter des signatures rythmiques cycliques issues de traditions non occidentales

Ce sont ces opérations que Bernard Bel a développées pour représenter le temps musical indien, et qu’il a formalisées dans « Rationalizing Musical Time » [Bel2001].

L’idée en une phrase

La polymétrie BP3 permet de comprimer, dilater et superposer des flux de notes avec une syntaxe {expr1, expr2, ...} où le premier champ définit la durée, formalisant le temps cyclique que la notation occidentale ne sait pas exprimer.

Expliquons pas à pas

1. Le premier champ définit le cadre temporel

Dans toute expression polymétrique {champ1, champ2, ...}, le premier champ est une expression musicale, exécutée au tempo courant. Sa durée définit le cadre temporel dans lequel les champs suivants doivent tenir.

Quand le premier champ est un nombre, c’est un raccourci pour autant de silences. Ainsi :

Syntaxe BP3 :

{3, dha dhin dhin dha}

…est équivalent à {- - -, dha dhin dhin dha} : le 3 signifie « trois silences au tempo courant », soit 3 temps. Les 4 bols dha dhin dhin dha doivent tenir dans ces 3 temps — c’est une compression temporelle. Le premier champ étant inaudible (des silences), seuls les bols sont entendus.

Le premier champ peut aussi être une expression sonore : {dha ti, tira kita tira kita} signifie que dha ti (2 bols = 2 temps) fixe la durée, et tira kita tira kita (4 bols) se compresse dans ces 2 temps. Les deux voix sont entendues simultanément.

Encart : L’analogie de l’accordéon

Imaginez un accordéon. La mélodie (les bols dha dhin dhin dha) est fixée sur les touches. Mais vous pouvez étirer ou comprimer le soufflet — c’est la durée fixée par le premier champ. Avec {3, dha dhin dhin dha}, vous comprimez 4 bols dans 3 temps : chaque bol dure 3/4 de temps au lieu d’un temps plein. Avec {6, dha dhin dhin dha}, vous étirez : chaque bol dure 6/4 = 1.5 temps.

La formule

Si vous avez N éléments à jouer dans M temps :

durée de chaque élément = M / N

C’est la seule formule de cet article, et elle suffit à tout expliquer.

Expression BP3	N	M	Durée par élément	Effet
`{3, dha dhin dhin dha}`	4	3	3/4 = 0.75	Compressé
`{4, dha dhin dhin dha}`	4	4	4/4 = 1.0	Normal
`{6, dha dhin dhin dha}`	4	6	6/4 = 1.5	Dilaté
`{1, dha dhin dhin dha}`	4	1	1/4 = 0.25	Très rapide

Quand M < N, les notes sont compressées (chacune dure moins qu'un temps). Quand M > N, elles sont dilatées (chacune dure plus). Quand M = N, c’est neutre.

2. Polymétrie multi-voix : des flux parallèles

Quand le premier champ est une expression audible, il fixe la durée tout en étant joué. Les champs suivants s’inscrivent dans cette même durée.

Syntaxe BP3 :

{dha dhin dhin dha, Sa Re Ga Ma Pa}

Deux voix jouent en même temps :

Tabla (1er champ) : 4 bols (dha dhin dhin dha) au tempo courant → définit la durée (4 temps)
Sitar (2e champ) : 5 notes (Sa Re Ga Ma Pa) compressées dans ces 4 temps → chaque note dure 4/5 de temps

Les deux instruments commencent et finissent ensemble, mais le tabla joue 4 frappes pendant que le sitar joue 5 notes.

C’est une polymétrie cross-instrumentale typique de la musique classique indienne, où chaque instrument avance à son propre rythme dans le même cycle de tāla.

Encart : Tabla et sitar — deux flux parallèles

Dans un concert de musique hindustanie, le tabla et le sitar (ou tout instrument mélodique) jouent simultanément mais avec des densités différentes. Le tabla martèle ses bols en 4 frappes pendant que le sitariste déroule 5 notes de raga. C’est exactement ce que {dha dhin dhin dha, Sa Re Ga Ma Pa} encode — et c’est ce type de superposition que Bel a formalisé dans BP3 [Bel1998].

Encart : Visualisation temporelle

Temps   : |-------|-------|-------|-------|
Tabla   : [dha   ][dhin  ][dhin  ][dha   ]
Sitar   : [Sa  ][Re  ][Ga  ][Ma  ][Pa  ]

Les deux voix occupent le même temps total, mais le sitar subdivise ce temps en 5 parties égales pendant que le tabla le subdivise en 4. La densité est 4 contre 5.

Cas mixte : premier champ numérique + plusieurs voix

On peut aussi utiliser un premier champ numérique (silences) avec plusieurs voix audibles :

{4, dha dhin dhin dha, Sa Re Ga Ma Pa}

Le 4 (soit - - - -, quatre silences) fixe la durée à 4 temps. Les deux voix audibles calculent leurs durées indépendamment :

Tabla : 4 bols en 4 temps → durée = 4/4 = 1.0 par bol
Sitar : 5 notes en 4 temps → durée = 4/5 = 0.8 par note

3. Signatures rythmiques additives

Les signatures rythmiques dans BP3 utilisent une notation additive issue des traditions musicales indiennes, plus riche que le simple numérateur/dénominateur occidental.

Syntaxe BP3 :

4+4+4+4/4

Cette notation signifie : un cycle de 16 temps (4 groupes de 4, soit 4 vibhāg), où chaque temps vaut une noire. C’est une signature additive — elle explicite la structure interne du cycle, contrairement à « 16/4 » qui ne dit rien sur les groupements. C’est exactement la structure du tintāl, le tāla le plus courant en musique hindustanie.

Encart : Signatures additives et tāla indiens

Les signatures additives de BP3 viennent directement de la musique indienne, où les tāla (cycles rythmiques) sont définis par leurs groupements internes, pas par un simple numérateur/dénominateur :

Tāla Signature BP3 Temps Structure

Tintāl 4+4+4+4/4 16 4 vibhāg égaux — le plus courant

Jhaptāl 2+3+2+3/4 10 Rythme asymétrique — groupements inégaux

Rūpak 3+2+2/4 7 Cycle court — commence sur un temps faible

Ektāl 2+2+2+2+2+2/4 12 6 paires — cycle long et régulier

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La notation additive rend explicite ce que la musique occidentale laisse souvent implicite : le 6/8 est-il 3+3 (comme une sicilienne) ou 2+2+2 (comme un menuet rapide) ? En musique indienne, cette ambiguïté n’existe pas — chaque tāla a une structure interne définie [Bel2001].

Cette approche additive est aussi courante dans les musiques d’Europe de l’Est (Bartók) et de Turquie (aksak — rythmes asymétriques comme 2+2+2+3).

Tāla	Signature BP3	Temps	Structure
Tintāl	`4+4+4+4/4`	16	4 vibhāg égaux — le plus courant
Jhaptāl	`2+3+2+3/4`	10	Rythme asymétrique — groupements inégaux
Rūpak	`3+2+2/4`	7	Cycle court — commence sur un temps faible
Ektāl	`2+2+2+2+2+2/4`	12	6 paires — cycle long et régulier

Pourquoi les signatures ne sont pas de simples annotations

Les signatures additives portent une information structurelle que la fraction simple ne capture pas :

2+3+2+3/4 (jhaptāl) ≠ 10/4 : les groupements internes déterminent où tombent les accents (tālī et khālī)
3+2+2/4 (rūpak) ≠ 7/4 : le premier vibhāg fait 3 temps, pas 2 — le cycle est asymétrique dès le départ
3+3+2/8 (aksak turc) ≠ 8/8 : la structure additive est la raison même du caractère « boiteux » (aksak) du rythme

Dans une perspective de hiérarchie de Chomsky, ces signatures pourraient nécessiter un pouvoir expressif supérieur au Type 3 (régulier) pour être correctement représentées — une question ouverte discutée dans Paper 1.

4. Liaisons : prolonger le son au-delà des frontières

Les liaisons (ties) sont un concept issu de la notation musicale traditionnelle, importé dans BP3 via MusicXML. Une liaison relie deux notes de même hauteur pour en faire une seule note plus longue.

Syntaxe BP3 :

do4 ré4 mi4& &mi4 fa4 sol4

Le mi4& (début de liaison) est relié au &mi4 (fin de liaison). Le mi continue de sonner sans réattaque — il dure deux temps au lieu d’un.

Les liaisons apparaissent principalement lors de l’import MusicXML dans BP3 : quand une note traverse une barre de mesure, l’importateur la coupe en deux et insère une liaison. C’est un mécanisme de compatibilité avec la notation classique, pas une invention de BP3.

Encart : Bel et la rationalisation du temps musical

La polymétrie de BP3 n’est pas née d’une spéculation théorique. Dans « Rationalizing Musical Time » [Bel2001], Bernard Bel propose des approches syntactiques et symbolique-numériques pour représenter le temps musical, directement inspirées de la musique classique indienne. Les tāla ne sont pas des mesures linéaires (comme en musique occidentale) : ce sont des cycles qui tournent, revenant au point de départ (sam) à chaque rotation. Cette conception cyclique du temps — et les ratios de compression/dilatation qu’elle implique — est au cœur de la polymétrie de BP3.

Cet article a eu un impact considérable : Alex McLean, créateur de TidalCycles (le langage de live coding le plus utilisé aujourd’hui), cite [Bel2001] dans plus de 8 publications entre 2007 et 2022. La mini-notation cyclique de Tidal descend directement de la formalisation du temps de Bel [Bel1990b].

Exemples musicaux

Exemple 1 : Kathak — ralentissement progressif

Le kathak est une danse classique du nord de l’Inde, accompagnée de percussions tabla. Un procédé courant est le ralentissement progressif : jouer des groupes de notes de plus en plus lents dans le même espace de temps.

BP3 :

{2, dha dhin dhin dha dha dhin dhin dha}{2, dha tin tin ta ta dha}{2, dha dhin dhin dha dha}{2, dha tin tin ta}

Chaque groupe tient dans 2 temps, mais contient un nombre décroissant de bols :

Groupe	Bols	Durée par bol	Effet
1	8 bols	2/8 = 0.25	Rapide
2	6 bols	2/6 = 0.33	Modéré
3	5 bols	2/5 = 0.40	Ralenti
4	4 bols	2/4 = 0.50	Lent

L’effet est un décélérando structurel : ce n’est pas un ralentissement du tempo (le métronome ne change pas), c’est la densité de notes qui diminue dans un cadre temporel fixe. La compression passe de 4:1 (8 bols en 2 temps) à 2:1 (4 bols en 2 temps).

Exemple 2 : Hémiolie — 3 contre 2

L’hémiolie (polymétrie 3 contre 2) est la superposition polymétrique la plus courante, présente dans quasiment toutes les traditions musicales :

BP3 :

{Sa Re Ga, dha dhin}

Temps   : |---------|---------|---------|
Sitar   : [Sa    ][Re    ][Ga    ]
Tabla   : [dha        ][dhin       ]

Le sitar joue 3 notes et le tabla 2 frappes dans le même temps. Chaque voix subdivise le temps à sa façon : le sitar en tiers, le tabla en moitiés. C’est une figure fondamentale du jugalbandi (duo) en musique hindustanie.

Exemple 3 : Tāla jhaptāl — asymétrie structurelle

Le jhaptāl est un tāla de 10 temps avec une structure asymétrique 2+3+2+3, très différent du tintāl (4+4+4+4). Voici comment BP3 combine signature additive et polymétrie pour un cycle complet :

BP3 :

2+3+2+3/4 {2, dhin dha}{3, dhin dhin dha}{2, tin ta}{3, dhin dhin dha}

Les 4 vibhāg ont des durées inégales (2, 3, 2, 3 temps), et chaque vibhāg compresse ses bols dans sa durée propre. C’est exactement ce que la notation « 10/4 » ne saurait pas exprimer : la structure interne du cycle, avec ses asymétries caractéristiques.

La polymétrie et le pouvoir expressif

La polymétrie pose une question théorique intéressante : ajoute-t-elle du pouvoir expressif au sens des langages formels ?

Si on considère uniquement les séquences de symboles produites (les notes), une expression polymétrique {3, A B C} pourrait être « dépliée » en trois notes avec des durées ajustées — c’est une commodité notationnelle, pas un gain de pouvoir génératif.

Mais si on considère la structure temporelle comme faisant partie du langage (pas seulement les symboles mais aussi leurs relations temporelles), alors la polymétrie multi-voix {A B, C D E} engendre des structures bidimensionnelles (deux flux parallèles) qu’un langage purement séquentiel ne peut pas exprimer. On passe d’une chaîne (1D) à un graphe temporel (2D).

Cette question est discutée plus en détail dans Paper 1 (§6.7, question ouverte n°2). La réponse dépend de ce qu’on entend par « langage » : si c’est un ensemble de chaînes, la polymétrie est notationnelle ; si c’est un ensemble de structures temporelles, elle est substantielle.

Ce qu’il faut retenir

Le premier champ de {champ1, champ2, ...} est une expression jouée au tempo courant qui fixe la durée. Un nombre (ex. 3) est un raccourci pour autant de silences (- - -). Les champs suivants se compressent ou se dilatent pour tenir dans cette durée (M/N par élément).
La polymétrie multi-voix ({voix1, voix2}) superpose des flux parallèles indépendants. Chaque voix subdivise le temps total à sa façon.
Les signatures additives (4+4+4+4/4, 2+3+2+3/4) explicitent la structure interne des cycles rythmiques — une nécessité pour les tāla indiens et les rythmes aksak.
Les liaisons (note& et &note) proviennent de l’import MusicXML et prolongent une note au-delà des frontières de durée.
La polymétrie est le mécanisme central de la formalisation du temps cyclique dans BP3, directement issue des travaux de Bel sur la musique indienne [Bel2001].

Pour aller plus loin

Documentation BP3 : Bol Processor – Polymetric Expressions
Bel, B. (2001). « Rationalizing Musical Time: Syntactic and Symbolic-Numeric Approaches » — l’article clé sur la formalisation du temps musical, influence directe de TidalCycles.
Bel, B. (1998). « Migrating musical concepts: an overview of the Bol Processor ». Computer Music Journal 22(2).
Bel, B. (1990). « Time and musical structures » — première formalisation du temps dans BP, traitant de la polymétrie et des cycles rythmiques indiens.
Clayton, M. (2000). Time in Indian Music. Oxford University Press.
Article prérequis : M5 — La polymétrie (concepts musicaux)
Traduction en SuperCollider : B7 — comment le transpileur BP2SC traduit les expressions polymétriques en code jouable.

Glossaire

Aksak : Terme turc signifiant « boiteux ». Désigne les rythmes asymétriques courants en Turquie et dans les Balkans (ex : 2+2+2+3).
Bol : Syllabe mnémonique du tabla (ex : dha, dhin, tin, ta). Le « Bol » dans « Bol Processor ».
Compression temporelle : Fait de jouer plus de notes que le temps ne le permettrait normalement, en raccourcissant chaque note (M < N). Inverse de la dilatation.
Dilatation temporelle : Fait d’étirer des notes pour qu’elles occupent plus de temps que leur durée normale (M > N).
Hémiolie : Polymétrie 3 contre 2 (ou 2 contre 3). Cas le plus courant de superposition métrique.
Jugalbandi : Duo musical indien où deux solistes dialoguent et se superposent, chacun avec sa propre subdivision du temps.
Liaison (Tie) : En notation musicale, connexion entre deux notes de même hauteur pour former une seule note plus longue. Notée note& (début) et &note (fin) en BP3.
Sam : Premier temps du cycle tāla — point de résolution. Le tihāī vise à « tomber sur sam ».
Sargam : Système de solmisation indien (Sa Re Ga Ma Pa Dha Ni), équivalent du solfège occidental (do ré mi fa sol la si).
Signature additive : Signature rythmique qui explicite les groupements internes (ex : 3+3+2/8 au lieu de 8/8). Essentielle pour les tāla indiens et les rythmes aksak.
Tāla : Cycle rythmique indien, défini par ses groupements internes (vibhāg). Exemples : tintāl (16 temps, 4+4+4+4), jhaptāl (10 temps, 2+3+2+3), rūpak (7 temps, 3+2+2).
Tihāī : Cadence indienne où un motif est répété trois fois pour tomber sur sam (premier temps du cycle).
Vibhāg : Section d’un tāla. Le tintāl a 4 vibhāg de 4 temps chacun.
Voix : Dans un contexte polymétrique, un flux de notes indépendant jouant en parallèle avec d’autres flux.

Prérequis : Polymétrie, Alphabets, Dérivation
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Tags : #polymétrie #temps #tāla #BP3 #temps-cyclique